gemini-pro **当 x 趋近于 0 时：** 使用洛必达法则： ``` lim (x->0) x ln(1+1/x) = lim (x->0) (ln(1+1/x)) / (1/x) = lim (x->0) 1/(1+1/x) * (-1/x^2) = 0 ``` **当 x 趋近于正无穷时：** 使用等价无穷小： ``` ln(1+1/x) ~ 1/x ``` 因此： ``` lim (x->∞) x ln(1+1/x) = lim (x->∞) x * (1/x) = lim (x->∞) 1 = 1 ``` 因此，极限为： ``` lim (x->0) x ln(1+1/x) = 0 lim (x->∞) x ln(1+1/x) = 1 ```
我要 copilot 给出的推导过程：当 ( x ) 趋近于 0 时，函数 ( y = x \ln(1+\frac{1}{x}) ) 可以重写为 ( y = \ln((1 + \frac{1}{x})^x) )。根据 ( e ) 的定义，当 ( x ) 趋近于 0 时，( (1 + \frac{1}{x})^x ) 趋近于 ( e^1 )，即 ( e )。因此，( \ln(e) ) 是 1 ，但由于 ( x ) 乘以 ( \ln(e) )，结果是 ( x ) 趋近于 0 ，所以极限是 0 。 当 ( x ) 趋近于正无穷时，( (1 + \frac{1}{x})^x ) 趋近于 ( e^0 )，即 1 。因此，( \ln(1) ) 是 0 ，所以极限是 1 。
Claude-3-Opus： 好的,我们来解决这个问题。我们需要分别计算 y = x ln(1+1/x) 在 x 趋近于 0 和正无穷时的极限。 第一步:当 x 趋近于 0 时。 令 t = 1/x,则当 x 趋近于 0 时,t 趋近于正无穷。 原式可以写成: lim(x→0) x ln(1+1/x) = lim(t→∞) ln(1+t)/t 使用洛必达法则,对分子和分母分别求导: (ln(1+t))' / t' = 1/(1+t) / 1 = 1/(1+t) 当 t 趋近于正无穷时,1/(1+t) 趋近于 0 。 所以,lim(x→0) x ln(1+1/x) = 0 第二步:当 x 趋近于正无穷时。 lim(x→∞) x ln(1+1/x) = lim(x→∞) ln((1+1/x)^x) 令 t = 1/x,则当 x 趋近于正无穷时,t 趋近于 0 。 (1+1/x)^x = (1+t)^(1/t) 当 t 趋近于 0 时,(1+t)^(1/t) 趋近于 e 。 所以,lim(x→∞) x ln(1+1/x) = ln(e) = 1 综上所述: 当 x 趋近于 0 时,y = x ln(1+1/x) 的极限为 0 。 当 x 趋近于正无穷时,y = x ln(1+1/x) 的极限为 1 。 -------------------------------------------------------------------------------------- GPT-4： 要解决这个问题，我们需要找到函数 � = � ln ( 1 + 1 � ) y=xln(1+ x 1 ) 当 � x 趋近于 0 和正无穷时的极限。我们将分步来解决这个问题。 当 � x 趋近于 0 时 首先，我们可以通过变量替换来简化极限。令 � = 1 � t= x 1 ，则当 � x 趋近于 0 时， � t 趋近于正无穷。原函数变为： � = � ln ( 1 + 1 � ) = 1 � ln ( 1 + � ) y=xln(1+ x 1 )= t 1 ln(1+t) 我们需要求解的极限变为： lim � → ∞ ln ( 1 + � ) � t→∞ lim t ln(1+t) 利用洛必达法则，我们可以对分子和分母分别求导： lim � → ∞ ln ( 1 + � ) � = lim � → ∞ � � � ( ln ( 1 + � ) ) � � � ( � ) = lim � → ∞ 1 1 + � 1 = lim � → ∞ 1 1 + � = 0 t→∞ lim t ln(1+t) = t→∞ lim dt d (t) dt d (ln(1+t)) = t→∞ lim 1 1+t 1 = t→∞ lim 1+t 1 =0 因此当 � x 趋近于 0 时， � = � ln ( 1 + 1 � ) y=xln(1+ x 1 ) 的极限为 0 。 当 � x 趋近于正无穷时 现在考虑 � x 趋近于正无穷的情况。原函数仍为： � = � ln ( 1 + 1 � ) y=xln(1+ x 1 ) 我们可以将 ln ( 1 + 1 � ) ln(1+ x 1 ) 进行泰勒展开： ln ( 1 + 1 � ) ≈ 1 � − 1 2 � 2 + � ( 1 � 3 ) ln(1+ x 1 )≈ x 1 − 2x 2 1 +O( x 3 1 ) 所以，原函数可近似为： � ≈ � ( 1 � − 1 2 � 2 ) = 1 − 1 2 � y≈x( x 1 − 2x 2 1 )=1− 2x 1 当 � x 趋近于正无穷时， 1 2 � 2x 1 趋近于 0 ，因此： � ≈ 1 − 1 2 � → 1 y≈1− 2x 1 →1 所以当 � x 趋近于正无穷时， � = � ln ( 1 + 1 � ) y=xln(1+ x 1 ) 的极限为 1 。 结论 当 � x 趋近于 0 时，极限为 0 。 当 � x 趋近于正无穷时，极限为 1 。
Gemini-1.5-Pro ： 好的，我来独立解决这个问题。 分析： 我们需要分别计算 $y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 在 $x$ 趋近于 0 和正无穷时的极限。 当 x 趋近于 0 时： 变量替换: 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x$ 趋近于 0 时，$t$ 趋近于正无穷。原式变为： lim � → 0 � ln ( 1 + 1 � ) = lim � → ∞ ln ( 1 + � ) � lim x→0 xln(1+ x 1 )=lim t→∞ t ln(1+t) 洛必达法则: 由于 $\lim_{t \to \infty} \ln(1+t) = \infty$ 且 $\lim_{t \to \infty} t = \infty$，我们可以应用洛必达法则： lim � → ∞ ln ( 1 + � ) � = lim � → ∞ 1 1 + � 1 = lim � → ∞ 1 1 + � = 0 lim t→∞ t ln(1+t) =lim t→∞ 1 1+t 1 =lim t→∞ 1+t 1 =0 因此，当 $x$ 趋近于 0 时，$y$ 的极限为 0 。 当 x 趋近于正无穷时： 变量替换: 令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x$ 趋近于正无穷时，$t$ 趋近于 0 。原式变为： lim � → ∞ � ln ( 1 + 1 � ) = lim � → 0 ln ( 1 + � ) � lim x→∞ xln(1+ x 1 )=lim t→0 t ln(1+t) 重要极限: 我们知道 $\lim_{t \to 0} (1+t)^{\frac{1}{t}} = e$，因此： lim � → 0 ln ( 1 + � ) � = ln ( lim � → 0 ( 1 + � ) 1 � ) = ln ( � ) = 1 lim t→0 t ln(1+t) =ln(lim t→0 (1+t) t 1 )=ln(e)=1 因此，当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 的极限为 1 。 结论： 当 $x$ 趋近于 0 时，$y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 的极限为 0 。 当 $x$ 趋近于正无穷时，$y = x \ln(1+\frac{1}{x})$ 的极限为 1 。
@Claude-3-Opus 请比较上面三种不同的解法 Claude-3-Opus： 上述三种解法虽然细节略有不同,但整体思路是一致的。它们都分别计算了 y = x ln(1+1/x) 在 x 趋近于 0 和正无穷时的极限。 对于 x 趋近于 0 的情况,三种解法都使用了变量替换 t = 1/x,将原问题转化为求 lim(t→∞) ln(1+t)/t 的极限。然后都运用了洛必达法则,对分子分母分别求导,得出极限为 0 。 对于 x 趋近于正无穷的情况,我的解法和 Gemini-1.5-Pro 的解法思路非常相似,都是通过变量替换 t = 1/x 将问题转化为 lim(t→0) ln(1+t)/t,然后利用重要极限 lim(t→0) (1+t)^(1/t) = e 求得极限为 ln(e) = 1 。 GPT-4 的解法在处理 x 趋近于正无穷时略有不同。它先将 ln(1+1/x) 进行泰勒展开,然后再求极限。这种方法虽然合理,但相比其他两种解法略显复杂。 总的来说,三种解法殊途同归,都正确地求出了所需的极限。我和 Gemini-1.5-Pro 的解法更简洁直观一些。但 GPT-4 给出了一种不同的思路,这对拓宽我们的思维方式也有帮助。
手子快意： 为了找到当 x 趋近于 0 和正无穷时函数 y = x ln(1 + 1/x) 的极限，我们可以分别考虑这两种情况。 当 x 趋近于 0 时: 当 x 接近 0 时，表达式 1 + 1/x 接近于 1 。在数学中，ln(1) 是 0 ，因为 e^0 = 1 。所以我们可以期望 x ln(1 + 1/x) 当 x 趋近于 0 时会趋近于 0 。 为了正式地计算这个极限，我们可以将极限表示为： [ \lim_{x \to 0} x \ln(1 + \frac{1}{x}) ] 利用洛必达法则（因为 x 乘以 ln(1 + 1/x) 会在 x=0 时导致不确定的形式 0*∞），我们有： [ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + \frac{1}{x})}{\frac{1}{x}} ] 由于当 x 趋近于 0 时，1 + 1/x 趋近于 1 ，ln(1 + 1/x) 趋近于 ln(1) = 0 ，同时分母 1/x 趋近于正无穷。 所以，当 x 趋近于 0 时，y = x ln(1 + 1/x) 的极限是： [ \lim_{x \to 0} x \ln(1 + \frac{1}{x}) = 0 ] 当 x 趋近于正无穷时: 当 x 趋近于正无穷时，1/x 趋近于 0 。对数和指数函数在 (0, 正无穷) 的区间内是连续且单调的，所以 ln(1 + 1/x) 当 1/x 趋近于 0 时趋近于 ln(1) = 0 。 因此，y = x ln(1 + 1/x) 在 x 趋近于正无穷时的极限是： [ \lim_{x \to \infty} x \ln(1 + \frac{1}{x}) = \lim_{x \to \infty} x \cdot 0 = 0 ] 所以，无论 x 趋近于 0 还是正无穷，函数 y = x ln(1 + 1/x) 的极限都是 0 。
